Самое большое число во Вселенной

Гугол. Это большое число, невообразимо большое. Легко записать в экспоненциальном формате: 10 100 , чрезвычайно компактный метод для простого представления самых больших чисел (а также самых маленьких чисел).Приложив минимум усилий, вы также можете представить его в полном формате: «единица», за которой следует сто «нулей». Однако в экспоненциальном формате его легко прочитать; в полном формате вы можете сбиться со счета, сколько раз вам нужно использовать термин «миллиард» в «десяти миллиардах миллиардов миллиардов миллиардов миллиардов…». так далее.". В любом случае, мы не можем даже начать оценивать масштабы. Даже имея всего один гугол, мы сталкиваемся с числом, которое больше, чем все, что используется для описания Вселенной, которую мы понимаем. Наша Галактика, например, состоит примерно из ста миллиардов звезд. В экспоненциальной форме около 10 11 звезд. Масса Солнца 2х1033 грамма. Используя это измерение в качестве средней массы звезды, мы можем вычислить, что масса (видимая) нашей Галактики, таким образом, составляет приблизительно 10 45 граммов. Во Вселенной насчитывается несколько сотен миллиардов галактик, число, сравнимое с количеством звезд в нашей Галактике. Таким образом, вместе мы собрали около 10 56 -10 57 граммов вещества. Эта материя в основном состоит из барионов (протонов и нейтронов), связанных с ядрами атомов, которые, начиная от водорода и заканчивая ураном (среди прочих), составляют часть нашей Вселенной. При вычислении массы электроны, которые весят примерно одну двухтысячную часть нуклонов, легко можно не принимать во внимание. Принимая во внимание, что масса протона (и нейтрона) составляет 1,7 х 10 -24 г, мы можем вычислить, что количество барионов, присутствующих во Вселенной, составляет приблизительно 10 80 . Большое число, но существенно меньше, чем гугол; если быть точным, сотая от миллиардной от миллиарда гугола. Нейтрино и фотонов больше, но даже их количество существенно меньше, чем у гугола. Чтобы превзойти гугол, мы должны обратиться к самому большому из известных нам контейнеров и его наименьшей относительной части. Наименьшая длина, с точки зрения физики, известная нам, — это длина Планка. Он равен 1,6 х 10 -33 сантиметра.В кубическом сантиметре 2,5 х 10 98 кубов, сторона которых равна планковской длине. Даже десятой части гугола. Таким образом, во всей Вселенной, имеющей радиус примерно 10 28 см, имеется приблизительно 10 184 планковских куба. Это число — количество кубов Планка во Вселенной — вероятно, самое большое число, которое мы можем присвоить объекту в физическом мире. Если отбросить физический размер и остаться в сфере математической абстракции, то мы знаем некоторые простые числа Мерсенна, превосходящие гугол, начиная с 2 521 – 1 (включающего 157 цифр) и заканчивая 2 43 112 609 – 1, включающим 13 миллионов цифр и считается самым большим среди известных простых чисел Мерсенна (однако мы, несомненно, откроем больше в будущем). Нам удалось превзойти гугол, но мы все еще имеем дело с небольшими числами по сравнению с гуголплексом.

А гуголплекс, фактически равно 10 гуголам и может быть записано только в экспоненциальном формате. Гугол, равный 10 100 , также может быть записан как 10 10^2 ; число куба Планка, содержащееся во Вселенной, также может быть записано как 10 10^2,27 , однако гуголплекс равен 10 10^100 ! Мало того, что не хватило бы бумаги или чернил, так еще не хватило бы места или времени, чтобы написать гуголплекс в его полном формате. Даже если вы запишете каждую фигуру с помощью миниатюрных символов, настолько маленьких, что они поместятся в кубе Планка, во всей Вселенной, которая, как мы видели, содержит, как максимум, достаточно места, чтобы написать первые 10 символов, не хватило бы места. 184 фигуры. Однако нам нужно гораздо больше цифр! В свою очередь, гуголплекс, хотя и равен 10 98 больше, чем гугол, может считаться меньшим числом, если привести пример, по сравнению с тем, которое считается наибольшим числом, когда-либо использовавшимся в математическом контексте, известным как G, число Грэма. количество.Это число, относительное количество цифр которого неизвестно, не может быть легко записано даже при использовании экспоненциального формата, и необходимо прибегать к новым форматам, таким как тетрация и последующие экспоненциальные циклы, которые позволяют ее развивать: сложение — умножение — возведение в степень — тетрация. и так далее. Тетрация обозначена двумя стрелками вверх между факторами. Последующие расчеты показаны растущим числом стрелок. Следовательно, 3↑3 = 3 3 = 3x3x3. Следовательно, 3↑↑3 = 3↑(3↑3) (и, следовательно, 3 3^3 ) и 3↑↑↑3 = 3↑↑(3↑↑3) – что равно (3 3^3 )^(3 3 ^ 3 ) ^ (3 3 ^ 3 ). Наконец, 3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑(3↑↑↑3). Это представляет собой отправную точку для достижения числа Грэма, которое мы будем называть g1. Шаг 2 будет g2 = 3↑↑…↑↑3, где количество стрелок равно g1. Следующим шагом будет g3 = 3↑↑↑↑…↑↑↑↑3, где на этот раз количество стрелок равно g2. И так далее. Это продолжается до 64-го уровня, где мы достигаем g64 = G, номер Грэма, очевидно, невообразимое число. Можно, даже легко, разработать операции, которые привели бы нас к большим числам: можно перейти от простого +1 к экспоненциальному вычислению с членами, даже большими, чем то, что определяет число Грэма (g65), или которые включают более высокие числа. факторы (например, используя 4 вместо 3).

Однако дело не в этом. Суть в том, чтобы найти числа, которые служат определенной цели, имеют определенное значение, числа, которые являются результатом операций, задач ментальной логики или которые не могут быть, подобно простым числам, выражены в терминах меньших чисел. В этом свете и гугол, и гуголплекс — это просто две степени числа 10, которые были названы, хорошо известны и фигурируют в словарях, энциклопедиях, документации и выдержках.Совсем иначе число Грэма представляет собой верхнюю границу (но не обязательно наименьшую) «наименьшего числа необходимых измерений» для определения свойств гиперкуба (геометрической формы с четырьмя или более пространственными измерениями). Именно поэтому он был назван самым большим количество среди тех, которые имеют то же значение. Я закончу странной информацией о номере Грэма. Его простые числа остаются неизвестными, и у нас есть все основания полагать, что они никогда не будут обнаружены, так как они исчисляются с самых низов (впрочем, я не хочу совершать ту же самонадеянную ошибку, о которой писал недавно, поэтому лучше всего "никогда не говори никогда"). Последние цифры известны (по последним подсчетам было рассчитано 500, и это число растет). Что касается G, который представляет собой просто истребляемую последовательность умножений числа 3, их 7! Наконец, чтобы рассмотреть число Грэма, давайте не будем забывать, что все цифры ничтожны по сравнению с бесконечный те, которые описывают отношение между длиной и диаметром окружности или даже отношение между длиной диагонали квадрата и его стороной (даже если мы сейчас говорим о цифрах «после запятой», что существенно не изменит размер номера). Но даже когда мы говорим о бесконечности, мы должны помнить, что существуют как большие, так и меньшие…

Извлеченный из: Ле Стель нет. 107, июнь 2012 г.